Квадрат теңдеуді қалай салу керек: 10 қадам (суреттермен)

2024 Автор: Robert Blare | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-02-02 02:07

Графикті салғанда, форманың квадрат теңдеулері балта² + bx + c немесе а (х - с)² + к парабола деп аталатын U-тәрізді немесе кері U-тәрізді тегіс қисық беріңіз. Квадрат теңдеудің графигін салу - оның төбесін, бағытын және көбінесе оның х пен у кесінділерін табу мәселесі. Салыстырмалы қарапайым квадрат теңдеулер жағдайында x мәндерінің диапазонын қосу және алынған нүктелерге негізделген қисық сызу жеткілікті болуы мүмкін. Жұмысты бастау үшін төмендегі 1 -қадамды қараңыз.

Қадамдар

Қадам 1. Сізде квадрат теңдеудің қандай формасы бар екенін анықтаңыз

Квадрат теңдеуді үш түрлі формада жазуға болады: стандартты форма, шыңдық форма және квадраттық форма. Квадрат теңдеудің графигін салу үшін кез келген форманы қолдануға болады; әрқайсысының графигін салу процесі сәл өзгеше. Егер сіз үй тапсырмасын орындап жатсаңыз, әдетте сіз осы екі форманың бірінде мәселені аласыз - басқаша айтқанда, сіз таңдай алмайсыз, сондықтан екеуін де түсінген дұрыс. Квадрат теңдеудің екі формасы:

• Стандартты форма.

  Бұл формада квадрат теңдеу былай жазылады: f (x) = ax² + bx + c, мұнда a, b және c - нақты сандар және а нөлге тең емес.

  Мысалы, екі стандартты квадрат теңдеу f (x) = x² + 2x + 1 және f (x) = 9x² + 10х -8.

• Шың формасы.

  Бұл формада квадрат теңдеу былай жазылады: f (x) = a (x - h)² + k, мұнда a, h және k - нақты сандар және а нөлге тең емес. Шың формасы осылай аталады, себебі h және k сізге параболаңыздың шыңын (орталық нүкте) (h, k) нүктесінде тікелей береді.

  Шыңның екі формуласы f (x) = 9 (x - 4)² + 18 және -3 (x - 5)² + 1

• Осы теңдеулердің кез келген түрін графиктен өткізу үшін алдымен қисықтың «ұшындағы» орталық нүкте (h, k) болып табылатын параболаның төбесін табу керек. Шыңның координаттары стандартты түрде берілген: h = -b/2a және k = f (h), ал шың түрінде h және k теңдеуде көрсетілген.

Қадам 2. Айнымалыларды анықтаңыз

Квадраттық есепті шешу үшін әдетте a, b және c (немесе a, h және k) айнымалыларын анықтау қажет. Алгебра бойынша орташа есеп сізге квадрат теңдеу береді, әдетте айнымалылар стандартты түрде, бірақ кейде шың түрінде толтырылады.

• Мысалы, стандартты форма үшін f (x) = 2x теңдеуі² + 16x + 39, бізде a = 2, b = 16 және c = 39 бар.
• Шың формасы үшін f (x) = 4 (x - 5) теңдеуі² + 12, бізде a = 4, h = 5 және k = 12.

3 -қадам. H есептеңіз

Шыңдық формадағы теңдеулерде h үшін сіздің мәніңіз бұрыннан берілген, бірақ стандартты формадағы теңдеулерде оны есептеу керек. Есіңізде болсын, стандартты формулалар үшін h = -b/2a.

• Біздің стандартты формада мысал (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Шешу арқылы біз h = деп табамыз - 4.
• Біздің шың формасында мысал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), біз ешқандай математиканы қолданбай h = 5 білеміз.

4 -қадам. K есептеңіз

H сияқты, k шыңдық формадағы теңдеулерде белгілі. Стандартты формулалар үшін k = f (h) екенін есте сақтаңыз. Басқаша айтқанда, сіз теңдеуіңіздегі әрбір х данасын h үшін тапқан мәнге ауыстыру арқылы k таба аласыз.

• Біз стандартты формада h = -4 екенін анықтадық. K табу үшін, біз теңдеуімізді шешеміз, оның орнына х мәнін аламыз:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -қадам.

• Біздің шыңдық формадағы мысалда біз тағы да математиканы қолданбай -ақ k (12 -ге тең) мәнін білеміз.

Қадам 5. Шыңды салыңыз

Параболаның шыңы (h, k) - h нүктесі болады, х координатын көрсетеді, ал k у координатасын көрсетеді. Шың - сіздің параболаңыздағы орталық нүкте - не «U» төменгі жағы, не төңкерілген «U» жоғарғы жағы. Шыңды білу дәл параболаны сызудың маңызды бөлігі болып табылады - көбінесе мектепте шыңды анықтау сұрақтың міндетті бөлігі болады.

• Біздің стандартты үлгідегі мысалда біздің шыңымыз (-4, 7) болады. Сонымен, біздің парабола 0 және 7 бос орынның (0, 0) сол жағында 4 бос орынға жетеді. Біз координаттарды белгілеуді ұмытпай, осы нүктені графигімізге салуымыз керек.
• Біздің шың формасындағы мысалда біздің шыңымыз (5, 12) деңгейінде. Біз оң жақта 5 бос орын мен жоғарыда 12 бос орын (0, 0) нүктесін салуымыз керек.

Қадам 6. Параболаның осін сызыңыз (міндетті емес)

Параболаның симметрия осі - оның ортасынан өтетін, оны екіге бөлетін сызық. Бұл осьте параболаның сол жағы оң жағын көрсетеді. Балта формасының квадратикасы үшін² + bx + c немесе a (x - h)² + k, ось-у осіне параллель (басқаша айтқанда, мінсіз тік) және шыңнан өтетін сызық.

Біздің стандартты үлгі мысалында, ось-у осіне параллель және (-4, 7) нүктесі арқылы өтетін түзу. Бұл параболаның құрамына кірмесе де, графикте бұл сызықты жеңіл белгілеу ақырында параболаның қалай симметриялы болатынын көруге көмектеседі

Қадам 7. Ашылу бағытын табыңыз

Параболаның төбесі мен осін анықтағаннан кейін, біз параболаның жоғары немесе төмен ашылатынын білуіміз керек. Бақытымызға орай, бұл оңай. Егер «а» оң болса, парабола жоғары қарай ашылады, ал егер «а» теріс болса, парабола төмен қарай ашылады (яғни ол төңкеріледі).

• Біздің стандартты үлгі үшін (f (x) = 2x² + 16x + 39), бізде параболаның жоғары қарай ашылатынын білеміз, себебі біздің теңдеуде a = 2 (оң).
• Біздің шың формасы үшін мысал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бізде жоғарыда ашылатын парабола бар екенін білеміз, себебі a = 4 (оң).

Қадам 8. Қажет болса, x кесінділерін тауып, сызба құрыңыз

Көбінесе, мектепте жұмыс кезінде сізден параболаның х-интерцептерін табу сұралады (олар парабола х осіне сәйкес келетін бір немесе екі нүкте). Егер сіз оларды таба алмасаңыз да, бұл екі нүкте дәл параболаны салу үшін баға жетпес болуы мүмкін. Дегенмен, барлық параболаларда x-интерцептері жоқ. Егер сіздің параболаның шыңы жоғары қарай ашылса және х осінен жоғары шыңы болса немесе төмен қарай ашылып, х осінен төмен төбесі болса, онда ешқандай x кесінділері болмайды. Әйтпесе, x әдістерін келесі әдістердің бірімен шешіңіз:

• Жай f (x) = 0 орнатыңыз және теңдеуді шешіңіз. Бұл әдіс қарапайым квадрат теңдеулер үшін жұмыс істей алады, әсіресе шыңы түрінде, бірақ күрделілері үшін өте қиын болады. Мысал үшін төменде қараңыз

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 және 13 параболаның х-интерцептері болып табылады.

• Теңдеудің факторы. Балтадағы кейбір теңдеулер² + bx + c формасын (dx + e) (fx + g) формасына оңай қосуға болады, мұнда dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, және e × g = c. Бұл жағдайда сіздің x интерпретациясы x үшін мәндер болып табылады, олар жақшаның ішіндегі терминді құрайды = 0. Мысалы:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Бұл жағдайда сіздің жалғыз x кесуіңіз -1 болады, себебі x мәнін -1 -ге теңдеу жақшалардағы факторланған терминдердің бірін 0 -ге тең етеді.

• Квадрат формуланы қолданыңыз. Егер сіз өзіңіздің x кесінділеріңізді оңай шеше алмасаңыз немесе теңдеуіңізді көбейте алмасаңыз, осы мақсатқа арналған квадраттық формула деп аталатын арнайы теңдеуді қолданыңыз. Егер ол әлі болмаса, теңдеуіңізді ax ax түріне енгізіңіз² + bx + c, содан кейін a, b және c формуласына x = (-b +/- SqRt (b) қосыңыз² - 4ac))/2a. Назар аударыңыз, бұл сізге x үшін екі жауап береді, бұл жақсы, бұл сіздің параболада екі x кесіндісі бар екенін білдіреді. Мысал үшін төменде қараңыз:

  • -5x² + 1x + 10 квадраттық формулаға келесідей қосылады:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • х = (13,18/-10) және (-15,18/-10). Параболаның х кесулері шамамен x = болады - 1.318 және 1.518
  • Біздің бұрынғы стандартты үлгі үлгісі, 2x² + 16x + 39 келесідей квадрат формулаға қосылады:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Теріс санның квадрат түбірін табу мүмкін емес болғандықтан, біз мұны білеміз x ұстамайды бұл арнайы парабола үшін бар.

Қадам 9. Қажет болса, y кесіндісін тауып, сызба құрыңыз

Теңдеудің y кесіндісін табу қажет болмаса да (параболаның y осі арқылы өтетін нүктесі), ақыр соңында сізге қажет болуы мүмкін, әсіресе сіз мектепте болсаңыз. Бұл процесс өте қарапайым - тек x = 0 орнатыңыз, содан кейін f (x) немесе y теңдеуін шешіңіз, бұл сізге параболаның у осінен өтетін у мәнін береді. Х кесулерінен айырмашылығы, стандартты параболаларда тек бір у кесіндісі болуы мүмкін. Ескерту - стандартты форма теңдеулері үшін у кесіндісі y = c деңгейінде болады.

• Мысалы, біз 2x квадрат теңдеуін білеміз² + 16x + 39 y = 39 кезінде y кесіндісі бар, бірақ оны келесі түрде табуға болады:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболаның y кесіндісі - нүктесінде y = 39.

    Жоғарыда айтылғандай, y кесіндісі y = c деңгейінде.

• Біздің шың 4 (x - 5) теңдеуін құрайды² + 12 -де y кесіндісі бар, оны келесі түрде табуға болады:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболаның y кесіндісі - нүктесінде y = 112.

Қадам 10. Қажет болса, қосымша нүктелерді, содан кейін графикті салыңыз

Енді сізде теңдеудің шыңы, бағыты, x кесулері және, мүмкін, y қимасы болуы керек. Бұл кезде сіз өзіңіздің параболаңызды нұсқаулық ретінде ұпайлармен салуға тырысуға болады, немесе сіз өзіңіздің параболаңызды толтыру үшін көбірек ұпай таба аласыз, осылайша сызылған қисық дәлірек болады. Мұны істеудің ең оңай жолы - шыңның екі жағына бірнеше x мәндерін қосу, содан кейін алынған у мәндерінің көмегімен осы нүктелерді сызу. Көбінесе мұғалімдер сізден параболаны тартпас бұрын белгілі бір ұпай жинауды талап етеді.

• X теңдеуін қайта қарастырайық² + 2x + 1. Біз оның жалғыз x кесіндісі x = -1 болатынын білеміз. Ол бір нүктеде x кесіндісіне ғана тиетіндіктен, оның шыңы оның x кесіндісі екенін білуге болады, яғни оның шыңы (-1, 0). Бізде бұл парабола үшін бір ғана нүкте бар - бұл жақсы параболаны салу үшін жеткіліксіз. Дәл графикті салу үшін тағы бірнешеуін табайық.

  • Келесі х мәндері үшін y мәндерін табайық: 0, 1, -2 және -3.
  • 0 үшін: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Біздің ойымыз (0, 1).

  • 1 үшін: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Біздің ойымыз (1, 4).

  • -2 үшін: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Біздің ойымыз (-2, 1).

  • -3 үшін: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Біздің ойымыз (-3, 4).

  • Осы нүктелерді графикке салыңыз және U-тәрізді қисықты сызыңыз. Параболаның симметриялы екеніне назар аударыңыз - параболаның бір жағындағы нүктелер бүтін сандарға жатқанда, параболаның симметрия осі бойынша берілген нүктені көрсетіп, екінші жағынан сәйкес нүктені табу арқылы, әдетте, өзіңізді жұмыстан құтқара аласыз. параболадан.

Бейне - бұл қызметті пайдалану арқылы кейбір ақпарат YouTube -пен бөлісілуі мүмкін

Кеңестер

• Назар аударыңыз, f (x) = ax² + bx + c, егер b немесе c нөлге тең болса, бұл сандар жоғалады. Мысалы, 12 есе² + 0x + 6 12x болады² + 6, себебі 0x - 0.
• Алгебра мұғалімі айтқан сандарды дөңгелектеңіз немесе бөлшектерді қолданыңыз. Бұл квадрат теңдеулерді дұрыс сызуға көмектеседі.