Рационалды функция - бұл y = N (x)/D (x) түрін алатын теңдеу, мұнда N және D көпмүшелер. Нақты графикті қолмен жасауға тырысу негізгі алгебрадан бастап дифференциалдық есептеуге дейінгі орта мектептің көптеген маңызды математикалық тақырыптарына жан -жақты шолу болуы мүмкін. Келесі мысалды қарастырыңыз: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Қадамдар
1 -қадам. Y қиылысын табыңыз
Жай ғана x = 0 қойыңыз. Тұрақты терминдерден басқасының бәрі y = 5/2 қалдырады. Мұны координаталық жұп ретінде көрсете отырып, (0, 5/2) - графиктің нүктесі. Осы нүктені сызыңыз.
Қадам 2. Көлденең асимптотаны табыңыз
X үлкен абсолюттік мәндері үшін у әрекетін анықтау үшін бөлгішті бөлгішке ұзақ бөліңіз. Бұл мысалда бөлу y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) екенін көрсетеді. X үлкен оң немесе теріс мәндері үшін 17/(8 x + 4) нөлге жақындайды, ал график y = (1/2) x - (7/4) сызығына жақындайды. Үзік сызықты немесе аз сызылған сызықты пайдаланып, осы сызықты графикке салыңыз.
- Егер нумераттың дәрежесі бөлгіштің дәрежесінен төмен болса, онда бөлуге болмайды, ал асимптотасы y = 0 болады.
- Егер deg (N) = deg (D) болса, асимптотаның жетекші коэффициенттерінің қатынасында көлденең сызық болады.
- Егер deg (N) = deg (D) + 1 болса, асимптотасы көлбеуі жетекші коэффициенттердің қатынасы болатын сызық.
- Егер deg (N)> deg (D) + 1 болса, онда үлкен мәндер үшін | x |, y квадраттық, текше немесе одан жоғары дәрежелі полином ретінде оң немесе теріс шексіздікке тез өтеді. Бұл жағдайда, бөлу котенциалын дәл графикке салудың қажеті жоқ шығар.
Қадам 3. Нөлдерді табыңыз
Рационал функцияның нөлі нөлге тең болады, сондықтан N (x) = 0 орнатыңыз. Мысалда 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Бұл квадраттың дискриминанты b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Дискриминант теріс болғандықтан, N (x), демек f (x) нақты түбірлері жоқ. График ешқашан х -аксисінен өтпейді. Егер нөлдер табылса, сол нүктелерді графикке қосыңыз.
Қадам 4. Тік асимптоталарды табыңыз
Бөлгіш нөлге тең болғанда тік асимптот пайда болады. 4 x + 2 = 0 параметрі x = -1/2 тік сызығын береді. Әр тік асимптотаны жарық немесе үзік сызықпен сызыңыз. Егер х -тың кейбір мәні N (x) = 0 және D (x) = 0 екеуін құраса, онда тік асимптотаның болуы да, болмауы да мүмкін. Бұл сирек кездеседі, бірақ егер ол пайда болса, онымен қалай күресуге болатыны туралы кеңестерді қараңыз.
5 -қадам. 2 -қадамдағы бөлінудің қалған бөлігін қараңыз
Қашан оң, теріс немесе нөл болады? Мысалда, қалдықтың нумераторы 17, ол әрқашан оң болады. Бөлгіш, 4 x + 2, тік асимптотаның оң жағына оң және солға теріс. Бұл график жоғарыда келтірілген сызықтық асимптотаның х -тың үлкен оң мәндері үшін, ал х -тың үлкен теріс мәндері үшін төменнен жақындайтынын білдіреді. 17/(8 x + 4) ешқашан нөлге тең бола алмайтындықтан, бұл график у = (1/2) x - (7/4) түзуін ешқашан қиып өтпейді. Дәл қазір диаграммаға ештеңе қоспаңыз, бірақ бұл тұжырымдарды кейінірек ескеріңіз.
Қадам 6. Жергілікті экстремалды табыңыз
Жергілікті экстремум N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0 болған кезде пайда болуы мүмкін. Мысалда N '(x) = 4 x - 6 және D' (x) = 4 N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Терминдерді кеңейту, біріктіру және 4 жапыраққа бөлу x 2 + x - 4 = 0. Квадрат формула x = 3/2 және x = -5/2 жақын түбірлерді көрсетеді. (Бұл нақты мәндерден шамамен 0,06 -ға ерекшеленеді, бірақ біздің график бұл детальды алаңдату үшін жеткілікті дәл болмайды. Жақсы рационалды жақындатуды таңдау келесі қадамды жеңілдетеді.)
7 -қадам. Әрбір локальды экстремумның у мәндерін табыңыз
Сәйкес у мәндерін табу үшін алдыңғы қадамдағы x мәндерін бастапқы рационалды функцияға қайта қосыңыз. Мысалда f (3/2) = 1/16 және f (-5/2) = -65/16. Осы нүктелерді (3/2, 1/16) және (-5/2, -65/16) графикке қосыңыз. Біз алдыңғы қадамда жақындағандықтан, бұл нақты минимумдар мен максимумдар емес, бірақ олар жақын болуы мүмкін. (Біз білеміз (3/2, 1/16) жергілікті минимумға өте жақын. 3 -қадамнан бастап, x> -1/2 болғанда y әрқашан оң болатынын білеміз және біз 1/16 шамасындағы шаманы таптық, кем дегенде, бұл жағдайда қате желінің қалыңдығынан аз болуы мүмкін.)
Қадам 8. Нүктелерді жалғап, диаграмманы белгілі нүктелерден асимптоталарға дейін дұрыс бағытта жақындату үшін жайлап созыңыз
3 -қадамда табылған нүктелерден басқа, x -аксисінен өтпеуді қадағалаңыз. 5 -қадамда табылған нүктелерден басқа көлденең немесе сызықтық асимптотаны кесіп өтпеңіз. алдыңғы қадамда табылған экстремалдылық.
Бейне - бұл қызметті пайдалану арқылы кейбір ақпарат YouTube -пен бөлісілуі мүмкін
Кеңестер
- Бұл қадамдардың кейбіреулері жоғары дәрежелі көпмүшені шешуді талап етуі мүмкін. Егер сіз факторизация, формулалар немесе басқа әдістер арқылы нақты шешімдер таба алмасаңыз, онда шешімдерді Ньютон әдісі сияқты сандық әдістермен бағалаңыз.
- Егер сіз қадамдарды ретімен орындасаңыз, сыни мәндердің жергілікті максимум, жергілікті минимум немесе жоқ екенін анықтау үшін әдетте екінші туынды тесттерді немесе ұқсас ықтимал күрделі әдістерді қолданудың қажеті жоқ. Алдыңғы қадамдардағы ақпаратты және алдымен кішкене логиканы қолдануға тырысыңыз.
- Егер сіз мұны тек есептеу әдістерімен жасауға тырыссаңыз, асимптоталардың әр жұбы арасында бірнеше қосымша (x, y) реттелген жұптарды есептеу арқылы жергілікті экстремалды табу қадамдарын ауыстыруға болады. Немесе, егер сіз оның неге жұмыс істейтініне мән бермесеңіз, алдын ала есептеуші студент көпмүшенің туындысын қабылдай алмайды және N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = шеше алмайды. 0
-
Сирек жағдайларда, санауыш пен бөлгіш ортақ тұрақты емес факторға ие болуы мүмкін. Егер сіз қадамдарды орындасаңыз, бұл бір жерде нөлдік және тік асимптотамен көрінеді. Бұл мүмкін емес және іс жүзінде не болып жатқаны төмендегілердің бірі:
- N (x) ішіндегі нөл D (x) нөлінен жоғары еселікке ие. Бұл кезде f (x) графигі нөлге жақындайды, бірақ онда анықталмаған. Мұны нүктенің айналасындағы ашық шеңбермен көрсетіңіз.
- N (x) ішіндегі нөл мен D (x) ішіндегі нөл тең еселікке ие. График бұл х мәні үшін нөлден басқа нүктеге жақындайды, бірақ онда анықталмаған. Мұны ашық шеңбермен тағы да көрсетіңіз.
- N (x) ішіндегі нөл D (x) нольіне қарағанда төмен еселікке ие. Мұнда тік асимптотасы бар.
